Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung

Inhalt
Erstes Kapitel Vorbemerkungen über analytische Geometrie und Vektorrechnung.- § 1. Rechtwinklige Koordinaten und Vektoren.- Koordinatensysteme..- Richtungen und Vektoren. Koordinatentransformation..- Die innere Multiplikation von Vektoren..- Die Gleichungen der Geraden und der Ebene.- § 2. Dreiecksinhalt, Tetraedervolumen und äußere Vektormultiplikation..- Dreiecksinhalt..- Äußere Multiplikation zweier Vektoren..- Das Tetraedervolumen..- §3. Die einfachsten Tatsachen über zwei-und dreireihige Determinanten.- Bildungsgesetze und Haupteigenschaften..- Anwendung auf lineare Gleichungen..- § 4. Die affinen Abbildungen und der Determinantenmultiplikationssatz.- Affine Abbildung der Ebene und des Raumes..- Die Zusammensetzung affiner Abbildungen und die Reduktion der allgemeinen affinen Abbildung..- Die geometrische Bedeutung der Transformationsdeterminante und der Multiplikationssatz..- Zweites Kapitel Funktionen mehrerer Veränderlicher und ihre Ableitungen.- § 1. Der Funktionsbegriff bei mehreren Veränderlichen.- Funktionen und ihr Definitionsbereich..- Die einfachsten Typen von Funktionen..- Geometrische Veranschaulichung der Funktionen..- §2. Stetigkeit.- Definition..- Der Grenzbegriff bei mehreren stetigen Veränderlichen..- Beispiele für Unstetigkeitsstellen..- Die Größenordnung des Verschwindens einer Funktion..- § 3. Die Ableitungen einer Funktion.- Definition. Geometrische Veranschaulichung..- Existenz der partiellen Ableitungen nach x und y und Stetigkeit..- Die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Differentiation..- § 4. Das vollständige Differential einer Funktion und seine geometrische Bedeutung.- Der Begriff der Differenzierbarkeit..- Differentiation nach einer gegebenen Richtung..- Geometrische Deutung. Tangentialebene..- Das vollständige Differential oder der lineare Anteil einer Funktion..- Anwendung auf die Fehlerrechnung..- § 5. Zusammengesetzte Funktionen und Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher.- Allgemeines. Kettenregel..- Beispiele..- Einführung neuer unabhängiger Veränderlicher..- § 6. Der Mittelwertsatz und der TAYLORSCHE Satz bei mehreren unabhängigen Veränderlichen.- Problemstellung und Vorbereitungen..- Der Mittelwertsatz..- Die TAYLORsche Formel für mehrere unabhängige Veränderliche..- § 7. Anwendungen des Vektorbegriffes.- Vektorfelder und Vektorscharen..- Anwendung auf die Theorie der Kurvenkrümmung. Zerlegung einer Bewegung in Tangential- und Normalkomponente..- Der Gradient eines Skalars..- Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes..- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Das Häufungsstellenprinzip in mehreren Dimensionen und seine Anwendungen.- Formulierung des Häufungsstellenprinzips..- Einige Begriffe der Punktmengenlehre..- Der Überdeckungssatz..- § 2. Nähere Diskussion des Grenzbegriffes bei mehreren Veränderlichen.- Doppelfolgen und ihre Grenzwerte..- Doppellimes bei stetigen Veränderlichen..- Der Satz von DINI über die gleichmäßige Konvergenz monotoner Funktionsfolgen..- § 3. Homogene Funktionen.- Drittes Kapitel Ausbau und Anwendungen der Differentialrechnung.- § 1. Implizite Funktionen.- Allgemeines..- Geometrische Deutung..- Die Differentiation der implizit gegebenen Funktionen..- Beispiele..- Mehr als zwei Veränderliche..- Beweis für die Existenz und Stetigkeit der impliziten Funktionen..- § 2. Kurven und Flächen in impliziter Darstellung.- Ebene Kurven in impliziter Darstellung..- Singuläre Punkte von Kurven..- Implizite Darstellung von Flächen..- §3. Funktionensysteme, Transformationen und Abbildungen.- Allgemeines..- Einführung neuer krummliniger Koordinaten..- Übertragung auf mehr unabhängige Veränderliche..- Differentiationsformeln für die Umkehrfunktionen..- Zerlegung und Zusammensetzung von Abbildungen und Transformationen..- Allgemeiner Satz über die Umkehrbarkeit einer Transformation und über Systeme von impliziten Funktionen..- Die Abhängigkeit von Funktionen..- Schlußbemerkungen..- § 4. Anwendungen.- Zur Theorie der krummen Flächen..- Konforme Abbildung im allgemeinen..- § 5. Kurvenscharen, Flächenscharen und ihre Einhüllenden.- Allgemeines..- Einhüllende einparametriger Kurvenscharen..- Beispiele..- Einhüllende von Flächenscharen..- § 6. Maxima und Minima.- Notwendige Bedingungen..- Beispiele..- Maxima und Minima mit Nebenbedingungen..- Beweis der Multiplikatorenregel im einfachsten Falle..- Verallgemeinerung der Multiplikatorenregel..- Beispiele..- Anhang zum dritten Kapitel.- §1. Hinreichende Bedingungen für Extrema.- §2. Singuläre Punkte von ebenen Kurven.- § 3. Singuläre Punkte von Flächen.- § 4. Die Beziehung zwischen den EULERSCHEN und LAGRANGEschen Darstellungen der Bewegung einer Flüssigkeit.- §5. Tangentialdarstellung einer geschlossenen Kurve.- Viertes Kapitel Integrale von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- §1. Gewöhnliche Integrale als Funktionen eines Parameters.- Beispiele und Definitionen..- Stetigkeit und Differenzierbar-keit eines Integrales nach dem Parameter..- § 2. Das Integral einer stetigen Funktion über einen ebenen oder räumlichen Bereich.- Das Gebietsintegral als Volumen..- Die allgemeine analytische Fassung des Integralbegriffes..- Beispiele..- Bezeichnungen, Ergänzungen, Grundregeln..- Integralabschätzungen und Mittelwertsatz..- Integrale über drei- und mehrdimensionale Bereiche..- Gebietsdifferentiation. Masse und Dichte..- § 3. Zurückführung des Gebietsintegrals auf mehrfache gewöhnliche Integrale.- Betrachtung für ein Rechteck..- Folgerungen. Vertauschung von Integrationen. Differentiation unter dem Integralzeichen..- Ausdehnung des Resultats auf allgemeinere Bereiche..- Ausdehnung der Ergebnisse auf mehrdimensionale Bereiche..- §4. Transformation der Gebietsintegrale.- Einführung von Polarkoordinaten in der Ebene..- Die allgemeine Transformationsformel bei zwei unabhängigen Veränderlichen..- Bereiche von mehr als zwei Dimensionen..- § 5. Uneigentliche Integrale.- Sprunghaft unstetige Funktionen..- Funktionen mit isolierten Unendlichkeitspunkten..- Funktionen mit Unendlichkeitslinien..- Unendlicher Integrationsbereich..- Zusammenfassende Bemerkungen und Ergänzungen..- § 6. Geometrische Anwendungen.- Elementare Volumenberechnung..- Allgemeines zur Volumenberechnung. Rotationskörper. Volumen in Polarkoordinaten..- Flächeninhalt krummer Flächenstücke..- § 7. Physikalische Anwendungen.- Statisches Moment und Schwerpunkt..- Trägheitsmoment..- Das physische Pendel..- Potential anziehender Massen..- Anhang zum vierten Kapitel.- §1. Die Existenz des Gebietsintegrals.- Der Inhalt von ebenen und räumlichen Bereichen..- Ein Satz über glatte Kurvenbögen..- Die Existenz des Gebietsintegrals für stetige Funktionen..- § 2. Allgemeine Formel für den Flächeninhalt (oder Rauminhalt) eines durch Segmente von Geraden oder Ebenen begrenzten Bereiches (GULDINS Formel). Der Polarplanimeter.- § 3. Volumen und Oberfläche bei beliebiger Anzahl von Dimensionen.- Zerlegung von Gebietsintegralen..- Oberflächen und Integration über Oberflächen in mehr als drei Dimensionen..- Oberfläche und Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel..- Verallgemeinerungen, Parameterdarstellung..- § 4. Uneigentliche Integrale als Funktionen eines Parameters.- Gleichmäßige Konvergenz. Stetige Abhängigkeit vom Parameter..- Integration und Differentiation uneigentlicher Integrale nach einem Parameter..- Beispiele..- § 5. Die Fresnelschen Integrale.- § 6. Das Fouriersche Integral.- Einleitung..- Beweis des Fourierschen Integralsatzes..- § 7. Die Eulerschenn Integrale (Gammafunktion).- Definition und Funktionalgleichung..- Produktdarstellungen der ?-Funktion..- Die Funktion log ?(x) und ihre Ableitungen..- Der Ergänzungssatz..- Die Betafunktion..- § 8. Differentiation und Integration von gebrochener Ordnung. Die Abelsche Integralgleichung..- § 9. Zur Flächeninhaltsdefinition bei krummen Flächen.- Fünftes Kapitel Integration über mehrdimensionale Bereiche. Fortsetzung.- § 1. Kurvenintegrale.- Definition der Kurvenintegrale. Bezeichnungen..- Grundregeln..- Mechanische Deutung der Kurvenintegrale..- …

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