Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung

Inhalt
Vorbemerkungen.- Erstes Kapitel Vorbereitungen.- § 1. Das Zahlenkontinuum Das System der rationalen Zahlen und die Notwendigkeit seiner Er- weiterung S. 3. Das. Kontinuum der reellen Zahlen und unendliche Dezimalbrüche S. 6. Ungleichungen S. 8..- § 2. Der Funktionsbegriff Beispiele S. 9. Begriffliche Formulierung S. 10 Geometrische Dar- stellung. Stetigkeit. Monotone Funktionen S. 11 Umkehrfunktionen S.15..- § 3. Nähere Betrachtung der elementaren Funktionen Die rationalen Funktionen S. 16 Algebraische Funktionen S. 18 Die trigonometrischen Funktionen S. 19. Exponentialfunktion und Logarithmus S. 20..- § 4. Funktionen einer ganzzahligen VeränderlichenZahlenfolgenVol- ständige Induktion Definition und Beispiele S. 21 Das Prinzip der vollständigen Induk- tion S. 22 Beispiel: Die Summe der ersten n Quadrate S. 24..- § 5. Der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Beispiele $${a_n} = {1 \over n}$$ S.25. $${a_{2m}} = {1 \over m}$$; $${a_{2m - 1}} = {1 \over {2m}}$$ S. 26. $${a_n} = {n \over {n + 1}}$$ S. 27. $${a_n} = \root n \of p $$ S. 27. $${a_n} = {\alpha ^n}$$ S. 29 Zur geometrischen Ver- anschaulichung der Grenzwerte von ?n und $$\root n \of p $$ S. 30 Die geometrische Reihe S. 31. $${a_n} = \root n \of n $$ S. 32. $${a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n $$ S. 32. $${a_n} = {n \over {{a_n}}}$$ S.33..- § 6. Genauere Erörterung des Grenzwertbegriffes Definition der Konvergenz S. 33 Zweite Definition der Konvergenz S. 35 Monotone Folgen S. 36 Rechnen mit Grenzwerten S. 37 Die Zahl e S. 38 Beweis der Irrationalität von e. S. 40 Die Zahl ? als Grenzwert S. 40 Das arithmetisch-geometrische Mittel S. 41 Motivierung der präzisen Grenzwertdefinition S. 42..- § 7. Der Begriff des Grenzwertes bei stetigen Veränderlichen Definitionen und Beispiele S. 43 Motivierung der Begriffsbildung S.45..- § 8. Der Begriff der Stetigkeit Definitionen S. 47 Unstetigkeitspunkte S. 48 Sätze über stetige Funktionen S. 52..- Anhang I zum ersten Kapitel Vorbemerkungen.- § 1. Das Häufungsstellen-Prinzip und seine Anwendungen Das Häufungsstellen-Prinzip S. 54 Intervallschachtelung und Zahlen- kontinuum S. 55 Grenzwerte von Zahlenfolgen S. 56 Beweis des CAUCHYSchen Konvergenzkriteriums S. 58 Oberer und unterer Häu- fungspunkt, obere und untere Grenze einer Zahlenmenge S. 59..- § 2. Sätze über stetige Funktionen Grö?ter und kleinster Wert stetiger Funktionen S. 60 Die Gleich- mä?igkeit der Stetigkeit S. 61 Der Zwischenwertsatz S. 63 Umkehrung einer stetigen monotonen Funktion S. 64 Weitere Sätze über stetige Funktionen S. 65..- § 3. Bemerkungen über die elementaren Funktionen.- Anhang II zum ersten Kapitel.- § 1. Polarkoordinaten.- § 2. Bemerkungen über komplexe Zahlen.- Zweites Kapitel Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung.- § 1. Das bestimmte Integral Das Integral als Flächeninhalt S. 71 Die analytische Definition des Integrales S. 72 Ergänzungen, Bezeichnungen und Grundregeln für das bestimmte Integral S. 74..- § 2. Beispiele Erstes Beispiel S. 76 Zweites Beispiel S. 77 Integration von x? bei beliebigem positiven ganzzahligen ? S. 78 Integration von x? für beliebiges rationales ? ?1 S. 79 Integration von sin x und cos x S. 80..- §3. Die Ableitung oder der Differentialquotient Differentialquotient und Kurventangente S. 82 Der Differentialquotient als Geschwindigkeit S. 85.Beispiele S. 86 Einige Grundregeln für die Differentiation S. 89.Differenzierbarkeit und Stetigkeit der Funktionen S. 89 Höhere Ableitungen und ihre Bedeutung S. 91 Differentialquotienten und Differenzenquotienten; Bezeichnungen von LEIBNIZ S. 92 Der Mittelwertsatz S. 94 Angenäherte Darstellung beliebiger Funktionen durch lineare Differentiale S. 97 Be- merkungen über die Anwendungen unserer Begriffe in der Naturwissen- schaft S. 98..- § 4. Das unbestimmte Integral, die primitive Funktion und die Fundamentalsätze der Differential- und Integralrechnung Das Integral als Funktion der oberen Grenze S. 100 Der Differentialquotient des unbestimmten Integrales S. 101 Die primitive Funktion (Stammfunktion); allgemeine Definition des unbestimmten Integrales S. 103 Die Verwendung der primitiven Funktion zur Ausführung bestimmter Integrale S. 106 Einige Beispiele S. 107..- § 5. Einfachste Methoden zur graphischen Integration.- § 6. Weitere Bemerkungen über den Zusammenhang zwischen dem Integral und dem Differentialquotienten Die Massen Verteilung und Dichte; Gesamtquantität und spezifische Quantität S. 110 Gesichtspunkte der Anwendungen S. 112..- §7. Integralabschätzungen und Mittelwertsatz der Integralrechnung. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung S. 114 Anwendung: Integration und Differentiation von x? S. 117..- Anhang zum zweiten Kapitel.- § 1. Die Existenz des bestimmten Integrales einer stetigen Funktion.- § 2. Zusammenhang des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.- Drittes Kapitel Differential- und Integralrechnung der elementaren Funktionen.- § 1. Die einfachsten Differentiationsregeln und ihre Anwendungen Differentiationsregeln S. 122 Differentiation der rationalen Funktionen S. 124 Differentiation der trigonometrischen Funktionen S. 125..- § 2. Die entsprechenden Integralformeln Allgemeine Integrationsregeln S. 126 Integration der einfachsten Funktionen S. 127..- § 3. Die Umkehrfunktion und ihr Differentialquotient Die allgemeine Differentiationsformel S. 128 Die Umkehrfunktionen der Potenzen und der trigonometrischen Funktionen S. 130 Die zugehörigen Integralformeln S. 134..- § 4. Die Differentiation der zusammengesetzten Funktionen Die Kettenregel S. 135 Beispiele S. 137 Nochmals Integration und Differentiation von x? für irrationales ? S. 138..- § 5. Maxima und Minima Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitungen (Konvexität) S. 140 Maxima und Minima S. 141 Beispiele für Maxima und Minima S. 144..- § 6. Logarithmus und Exponentialfunktion Definition des Logarithmus. Differentiationsformel S. 148 Das Additionstheorem S. 150 Monotoner Charakter und Wertevorrat des Logarithmus S. 151 Die Umkehrfunktion des Logarithmus (Exponentialfunktion) S. 151 Die allgemeine Exponentialfunktion ?x und die allgemeine Potenz x? S. 153 Exponentialfunktion und Logarithmus dargestellt durch Grenzwerte S. 154 Schlu?bemerkungen S. 156..- § 7. Einige Anwendungen der Exponentialfunktion Charakterisierung der Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung S. 157 Stetige Verzinsung. Radioaktiver Zerfall S. 158. Abkühlung oder Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium S. 159 Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe über dem Erdboden S. 160 Verlauf chemischer Reaktionen S. 161 Ein- und Ausschalten eines elektrischen Stromes S. 162..- § 8. Die Hyperbelfunktionen Analytische Definition S. 163 Additionstheoreme und Differentiationsformeln S. 164.Die Umkehrfunktionen S. 165.Weitere Analogien S. 166..- § 9. Die Grö?enordnung von Funktionen Begriff der Grö?enordnung. Einfachste Fälle S. 168 Die Grö?enordnung der Exponentialfunktion und des Logarithmus S. 169.Allgemeine Bemerkungen S. 171 Die Grö?enordnung einer Funktion in der Umgebung eines beliebigen Punktes S. 171 Grö?enordnung des Verschwindens einer Funktion S. 172..- Anhang zum dritten Kapitel.- § 1. Betrachtung einiger spezieller Funktionen Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \over {{x^2}}}}}$$ S. 173. Die Funktion $$y = {e^{ - {1 \over x}}}$$. 174. Die Funktion $$y = {L_g}{1 \over x}$$ S. 174. Die Funktion $$y = x{L_g}{1 \over x}$$ S. 175. Die Funktion $$y = x\sin {1 \over x}$$; y(0) = 0 S. 176..- §2. Bemerkungen über die Differenzierbarkeit von Funktionen.- §3. Verschiedene Einzelheiten Beweis des binomischen Satzes S. 177 Fortgesetzte Differentiation S. 178 Weitere Beispiele für Anwendung der Kettenregel. Verallgemeinerter Mittelwertsatz S. 179..- Viertes Kapitel Weiterer Ausbau der Integralrechnung.- § 1. Zusammenstellung der elementaren Integrale.- § 2. Die Substitutionsregel Die Substitutionsformel S. 182 Neuer Beweis der Substitutionsformel S. 186 Beispiele. Integrationsformeln S. 187..- § 3.…

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