Die Grundlagen der Arithmetik

Inhalt
§ 1 In der Mathematik ist in neuererZeitein auf die Strenge der Beweise und scharfe Fassung der Begriffe gerichtetes Bestreben erkennbar §2 Die Prüfung muß sich schließlich auch auf den Begriff der Anzahl erstrecken. Zweck des Beweises §3 Philosophische Beweggründe für solche Untersuchung: die Streitfragen, ob die Gesetze der Zahlen analytische oder synthetische Wahrheiten, a priori oder a posteriori sind. Sinn dieser Ausdrücke §4 Die Aufgabe dieses Buches I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze Sind die Zahlformeln beweisbar? §5 Kant verneint dies, was Hanke! mit Recht paradoxnennt §6 Leibnizens Beweis von 2 + 2 = 4 hat eine Lücke. Graßmanns Definition von a + b ist fehlerhaft §7 Mills Meinung, daß die Definitionen der einzelnen Zahlen beobachtete Tatsachen behaupten, aus denen die Rechnungen folgen, ist unbegründet §8 Zur Rechtmäßigkeit dieser Definitionen ist die Beobachtung jener Tatsachen nicht erforderlich Sind die Gesetze der Arithmetik induktive Wahrheiten? § 9 Mills Naturgesetz. Indem Mill arithmetische Wahrheiten Naturgesetze nennt, verwechselt er sie mit ihren Anwendungen § 10 Gründe dagegen, daß die Additionsgesetze induktive Wahrheiten sind: Ungleichartigkeit der Zahlen; wir haben nicht schon durch die Definition eine Menge gemeinsamer Eigenschaften der Zahlen; die Induktion ist wahrscheinlich umgekehrt auf die Arithmetik zu gründen § 11 Leibnizens »Eingeboren«. Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch? § 12 Kant. Baumann. Lipschitz. Hanke!. Die innere Anschauung als Erkenntnisgrund § 13 Unterschied von Arithmetik und Geometrie § 14 Vergleichung der Wahrheiten in bezug auf das von ihnen beherrschte Gebiet § 15 Ansichten von Leibniz und St. Jevons § 16 Dagegen Mills Herabsetzung des »kunstfertigen Handhabens der Sprache«Die Zeichen sind nicht darum leer, weil sie nichts Wahrnehmbares bedeuten § 17 Unzulänglichkeit der Induktion. Vermutung, daß die Zahlgesetze analytische Urteile sind; worin dann ihr Nutzen besteht. Wertschätzung der analytischen Urteile II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl § 18 Notwendigkeit, den allgemeinen Begriff der Anzahl zu untersuchen § 19 Die Definition darf nicht geometrisch sein § 20 Ist die Zahl definierbar? Hankel. Leibniz Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äußern Dinge? § 21 Meinungen von M. Cantorund E. Sehröder § 22 Dagegen Baumann: die äußern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt scheinbar von unserer Auffassung ab § 23 Mills Meinung, daß die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar § 24 Umfassende Anwendbarkeit der Zahl. Mill. Locke. Leibnizens unkörperliche metaphysische Figur. Wenn die Zahl etwas Sinnliches wäre, könnte sie nicht Unsinnlichem beigelegt werden § 25 Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen Ist die Zahl etwas Subjektives? § 26 Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung paßt nicht recht und kann eine Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas Objektives § 27 Die Zahl ist nicht, wie Schlömilch will, Vorstellung der Stelle eines Objekts in einer Reihe Die Anzahl als Menge § 28 Thomaes Namengebung III. Meinungen über Einheit und Eins Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus? § 29 Vieldeutigkeit der Ausdrücke und »Einheitv. E. Schröders Erklärung der Einheit als zu zählenden Gegenstandes ist scheinbar zwecklos. Das Adjektiv »Ein« enthält keine nähere Bestimmung, kann nicht als Prädikat dienen § 30 Nach den Definitionsversuchen von Leibniz und Baumann scheint der Begriff der Einheit gänzlich zu verschwimmen § 31 Baumanns Merkmale der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit. Die Idee der Einheit wird uns nicht von jedem Objekte zugeführt (Locke) § 32 Doch deutet die Sprache einen Zusammenhang mit der Ungeteiltheit und Abgegrenztheit an, wobei jedoch der Sinn verschoben wird § 33 Die Unteilbarkeit (G. Köpp) ist als Merkmal der Einheit nicht haltbar Sind die Einheiten einander gleich? § 34 Die Gleichheit als Grund für den Namen »Einheit«. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Durch Abstraktion von den Verschiedenheiten der Dinge erhält man nicht den Begriff der Anzahl, und die Dinge werden dadurch nicht einander gleich § 35 Die Verschiedenheit ist sogar notwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes. E. Schröder. St. Jevons § 36 Die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten stößt auch auf Schwierigkeiten. Verschiedene Einsen bei St. Jevons § 37 Lackes, Leibnizens, Hesses Erklärungen der Zahl aus der Einheit oder Eins § 38 »Eins«ist Eigenname, »Einheit«Begriffswort. Zahl kann nicht als Einheiten definiert werden. Unterschied von »und

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