Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie

Das Lehrbuch bietet eine Einführung in fortgeschrittene Themen der Funktionalanalysis und der Operatortheorie. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben können Leser ihr Verständnis des Stoffs testen und weiterentwickeln. Mit Lösungen auf begleitender Website.

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs. Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik. Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

Autorentext
Winfried Kaballo lehrt als Professor an der Fakultät für Mathematik der TU Dortmund mit Schwerpunkt Analysis, insbesondere Funktionalanalysis.

Inhalt
Vorwort.- Einleitung.- I Distributionen und Differentialoperatoren.- 1 Frécheträume.- 1.1 Konvergenzbegriffe und Funktionenräume.- 1.2 Halbnormen und lokalkonvexe Topologien.- 1.3 Stetige lineare Abbildungen und Isomorphien.- 1.4 Prinzipien der Funktionalanalysis.- 1.5 Aufgaben.- 2 Distributionen.- 2.1 Testfunktionen.- 2.2 Schwache Ableitungen und Distributionen.- 2.3 Träger von Distributionen.- 2.4 Tensorprodukte von Distributionen.- 2.5 Faltung von Distributionen.- 2.6 Aufgaben.- 3 Fourier-Transformation.- 3.1 Schnell fallende Funktionen.- 3.2 Hermite-Funktionen.- 3.3 Temperierte Distributionen.- 3.4 Holomorphe Fourier-Transformierte.- 3.5 Aufgaben.- 4 Sobolev-Räume.- 4.1 Approximationssätze.- 4.2 Sobolev-Hilberträume.- 4.3 Einbettungssätze.- 4.4 Fortsetzungsoperatoren.- 4.5 Spuroperatoren.- 4.6 Aufgaben.- 5 Differentialoperatoren.- 5.1 Die Wärmeleitungsgleichung auf R n .- 5.2 Beispiele von Fundamentallösungen.- 5.3 Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis.- 5.4 Elliptische und hypoelliptische Differentialoperatoren.- 5.5 Aufgaben.- II Lokalkonvexe Räume und lineare Operatoren.- 6 Topologische Vektorräume.- 6.1 Lineare Topologien.- 6.2 Lokalbeschränkte Räume und Quasi-Normen.- 6.3 Aufgaben.- 7 Lokalkonvexe Räume.- 7.1 Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.- 7.2 Projektive Topologien.- 7.3 Induktive lokalkonvexe Topologien.- 7.4 ( LF )-Räume.- 7.5 Gewebe und der Satz vom abgeschlossenen Graphen.- 7.6 Aufgaben.- 8 Dualität.- 8.1 Polare lokalkonvexe Topologien.- 8.2 Reflexive Räume.- 8.3 ( DF )-Räume.- 8.4 Exakte Sequenzen.- 8.5 Kompakte konvexe Mengen.- 8.6 Aufgaben.- 9 Lösung linearer Gleichungen.- 9.1 Abgeschlossene Operatoren und duale Operatoren.- 9.2 Surjektive und normal auflösbare Operatoren.- 9.3 Globale Lösbarkeit linearer Differentialgleichungen.- 9.4 Stetige lineare Lösungsoperatoren und Projektionen.- 9.5 Fortsetzung und Lifting linearer Operatoren.- 9.6 Stetige Lösungsoperatoren.- 9.7 Aufgaben.- 10 Vektorfunktionen und Tensorprodukte.- 10.1 Funktionenräume und -Produkte.- 10.2 -Produkte linearer Operatoren.- 10.3 Holomorphe Vektorfunktionen.- 10.4 -Tensorprodukte und Approximationseigenschaft.- 10.5 -Tensorprodukte und Bochner-Integrale.- 10.6 Aufgaben.- 11 Operatorideale und nukleare Räume.- 11.1 Approximationszahlen und Integraloperatoren.- 11.2 Nukleare Operatoren.- 11.3 Spuren.- 11.4 Nukleare Räume.- 11.5 Schnell fallende Folgen.- 11.6 Aufgaben.- 12 Exakte Sequenzen und Tensorprodukte.- 12.1 L -Räume und Lifting-Sätze.- 12.2 -Sequenzen.- 12.3 Holomorphe Funktionen mit Randbedingungen.- 12.4 Die Eigenschaften ( DN ) und ().- 12.5 Ein Splitting-Satz.- 12.6 Unterräume und Quotientenräume von s .- 12.7 Aufgaben.- III Spektraltheorie linearer Operatoren.- 13 Banachalgebren.- 13.1 Grundlagen.- 13.2 Der analytische Funktionalkalkül.- 13.3 Gelfand-Theorie.- 13.4 Uniforme Algebren und gemeinsame Spektren.- 13.5 Einseitige Ideale und Operatorfunktionen.- 13.6 Aufgaben.- 14 Fredholmoperatoren und kompakte Operatoren.- 14.1 Semi-Fredholmoperatoren und Störungssätze.- 14.2 Singuläre Integraloperatoren.- 14.3 Inversion holomorpher Fredholm-Funktionen.- 14.4 Spektralprojektionen.- 14.5 Die Weylsche Ungleichung.- 14.6 Invariante Unterräume.- 14.7 Aufgaben.- 15 C* -Algebren und normale Operatoren.- 15.1 C* -Algebren.- 15.2 Der stetige Funktionalkalkül.- 15.3 *-Darstellungen und beschränkter Borel-Funktionalkalkül.- 15.4 Spektralmaße und integrale.- 15.5 Spektraltheorie normaler Operatoren.- 15.6 Aufgaben.- 16 Selbstadjungierte Operatoren.- 16.1 Spektralsatz und unbeschränkter Borel-Funktionalkalkül.- 16.2 Spektren selbstadjungierter Operatoren.- 16.3 Selbstadjungierte Operatoren und Quantenmechanik.- 16.4 Erweiterung symmetrischer Operatoren.- 16.5 Halbbeschränkte Operatoren.- 16.6 Störungen selbstadjungierter Operatoren.- 16.7 Aufgaben.

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